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一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。
一阶齐次线性微分方程的通解
对于一阶齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函数的初始条件决定
一阶非齐次线性微分方程的通解
对于一阶非齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函数的初始条件决定
dx/dy+1/(ylny)*x=1/y
x=e^(∫-1/(ylny)dy){∫1/y*e^[∫1/(ylny)*dy]dy+C}
=1/lny[∫(-1/y*lny)dy+C]
=1/lny[-1/2*ln^2(y)+C]
求两道微分方程的通解
将x看作函数，y看作自变量
dx/dy=(lny-x)/(ylny)
即：dx/dy+x/(ylny)=1/y，一阶线性微分方程
套公式：
x=e^(-∫1/(ylny)dy)[∫ (1/y)e^(∫1/(ylny)dy) dy + C]
=e^(-∫1/lnydlny)[∫ (1/y)e^(∫1/lnydlny) dy + C]
=e^(-lnlny)[∫ (1/y)e^(lnlny) dy + C]
=1/(lny)[∫ lny/y dy + C]
=1/(lny)[∫ lny dlny + C]
=1/(lny)[(1/2)ln?y + C]
=(1/2)lny + C/lny
第一题题目不对，不是个微分方程缺等号
2
ylny
dx=lny-x
dy
dy/dx=ylny/lny-x
(dy/dx)/y=lny/lny-x
d(lny)/dx=lny/lny-x
令lny=t
dt/dx=t/t-x=1+
x/(t-x)
dt/dx-1=x/(t-x)
d(t-x)/dx=x/(t-x)
(t-x)d(t-x)=xdx
两边积分整理
(t-x)^2=x^2
将t=lny代入
(lny)^2-2lny*x+x^2=x^2+c
2xlny=(lny)^2+c
1
(x^2-1)y'+2xy=cosx
y'+P(x)y=Q(x)
公式是
y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
直接套公式
(x^2-1)y'+2xy=cosx
y'+2x/(x^2-1)
y=cosx/(x^2-1)
P(x)=2x/(x^2-1)
Q(x)=cosx/(x^2-1)
y=e^(-∫2x/(x^2-1）dx)[∫cosx/(x^2-1)*e^∫2x/(x^2-1）dx+C]
=e^(-(ln(x^2-1))[∫cosx/(x^2-1)*e^(ln(x^2-1)
dx
+C]
=1/(x^2-1)[∫cosx/(x^2-1)*(x^2-1)
dx+C]
=1/(x^2-1)（sinx+C)
第二题套公式类似
关键是求出P(X)
Q(X)
然后套公式的时候不要出错。太麻烦了，加点分吧！
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