什么叫泛函

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泛函泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

泛函分析的产生

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了希尔伯特空间的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。

研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

泛函分析的特点和内容

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是函数空间的点或矢量，这样最后得到了抽象空间这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最年轻的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、

如果你问大学课程中的《复变函数与积分变换》和《实变函数与泛函分析》哪个难，我觉得都难？

首先来聊聊《复变函数与积分变换》：复变函数论主要用于研究复域中的解析函数，因此通常称为解析函数论。积分变换最基本的一点是，它们可以用来解数学方程。其实这可以作为两门学科，但是也可以作为一门学科。因为复数的概念起源于求方程的根。在求二次和三次代数方程的根时，有负数的平方。长期以来，人们无法理解这样的数字。但随着数学的发展，这种数的重要性越来越明显。

积分变换是数学理论或应用中非常有用的工具。最重要的积分变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他的积分变换，其中梅林变换和汉克尔变换被广泛应用，可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换进行变换。所以他们之间还是有联系的。

再者说说《实变函数与泛函分析》：说到这门学科，肯定离不开集合论部分，已知给出了更多的拓扑定义，然后讨论了一些关于顺序和选择公理的事情，这门学科在附录中列出了顺序和选择公理，以便进行简单解释，但这一部分对学习实变量函数几乎没有影响。在测量理论方面，需要从外部测量和内部测量两方面给出了测量方法，按照勒伯格最初建立测量理论的顺序，操作更为复杂。

所以，实变函数与泛函分析的关系比较复杂，就是先实变函数，然后再泛函分析。其中包含了范数空间，度量空间：它涉及紧性，可以用来证明代数的基本定理。这些简单的概念已经可以得到强有力的结果：科罗夫金的理论和斯通·韦尔斯特拉的理论。一系列定理实际上回答了一个问题，即逼近问题，即给出一种用多项式（三角多项式）逼近连续函数的方法。如何判断这种方法是否可靠。接下来，我给出一个在20世纪50年代证明的结果，这个结果非常漂亮，不涉及困难的数学概念。

总之，我觉得都非常难学，以前觉得高数难，概率论难，自从学了这两门学科，我觉得没有比他们难，因此建议：非数学专业别学。

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